数学で宇宙の謎を全て解く
数学的証明に基づく厳密なシステム設計を提供。暗号プロトコル、分散システム、信頼性が要求されるソフトウェアの形式検証を行います。
定理証明支援系LEANを用いた数学理論の形式化研究。フルーリオ数学の変分原理形式化に成功し、現在はリーマン予想の形式化を研究中です。
W3C諮問委員会メンバーとして、分散型識別子とゼロ知識証明を統合したAMATELUSプロトコルの国際標準化を推進しています。
形式手法とは、数学的な論理と証明に基づいてシステムの正しさを保証する技術です。プログラムやプロトコルの仕様を数学的な記法で厳密に定義し、その性質を定理として証明することで、実装前にバグや脆弱性を排除できます。
当社のAMATELUS論文では、以下の性質を数学的に証明しています：
テストでは発見できない論理的欠陥を、実装前に数学的証明で排除。セキュリティクリティカルなシステムで真の安全性を実現します。
仕様が形式的に記述されることで、システムの振る舞いが曖昧さなく定義されます。国際標準化や監査において説明責任を果たせます。
証明された性質は実装が変わっても保持されます。将来的な拡張や変更時にも、形式的仕様を満たす限り安全性が保証されます。
形式的分析により、可能な攻撃経路を網羅的に特定。対策が必要な箇所を明確化し、効率的なセキュリティ設計を可能にします。
変分原理は、自然現象や数学的構造が「ある量を最小化（または最大化）する」という原理に従うという普遍的な考え方です。物理学では最小作用の原理、幾何学では測地線、機械学習では損失関数の最小化など、科学の多様な分野で中心的な役割を果たしています。
最小作用の原理：粒子は作用積分を最小にする経路を運動する
測地線：2点間の最短経路は距離を最小化する曲線として特徴づけられる
エントロピー最大化原理：制約条件下で最も「無秩序な」分布が実現される
Wasserstein距離：確率分布間の距離が輸送コストの最小化で定義される
1. 汎関数の定義：ある空間上の関数や経路に実数値を対応させる汎関数 E[·] を定義
2. 臨界条件：汎関数の第一変分がゼロとなる条件（Euler-Lagrange方程式）を導出
3. 最小性/最大性：第二変分の符号により極値の性質を判定
新しい数学体系において変分原理を証明できたということは、その体系が単なる形式的な構造ではなく、自然界の根本原理と同じ「最適性」の論理で支配されていることを意味します。これは理論が本質的な深さを持つ強力な証拠となります。
変分原理が成り立つ系では、観測されていない現象も「何が最適化されるか」から予測できます。
変分原理は直接、最適化アルゴリズムに変換できます。理論的な美しさが実用的な計算手法を生み出します。
変分構造を持つ理論は、物理学、幾何学、確率論、情報理論などと自然に接続します。
変分原理の存在は、理論に矛盾や病的な振る舞いがないことの強い指標です。
LEANは定理証明支援系と呼ばれるプログラミング言語で、数学的証明をコンピュータで検証可能な形式で記述できます。人間が書いた証明の正しさをコンピュータが厳密に検証するため、証明の誤りや見落としを完全に排除できます。
依存型理論により、命題と証明を型として表現。数学的厳密さとプログラムの正しさを統一的に扱えます。
大学数学の広範な分野を形式化した世界最大級のライブラリ。既存の形式化された定理を活用できます。
タクティク証明により、複雑な定理も段階的に証明可能。自動証明機能との組み合わせで効率的な形式化を実現します。
すべての証明ステップがカーネルで検証されるため、論理的な誤りが入り込む余地がありません。
金属比で較正された勾配流幾何における変分原理を、LEANで完全に形式化しました：
数学最大の未解決問題であるリーマン予想の完全形式化に挑戦しています。ゼータ関数の性質、解析接続、関数等式などの基礎理論から、予想そのものの厳密な定式化まで、段階的に形式化を進めています。